1. Errors i aproximacions

1.1 Generalitats i definicions. Fases de la resolució d'un problema i fonts d'error associades. Error absolut i error relatiu. Errors maximals.
1.2 Representació numèrica. Representació de nombres enters. Representació de nombres reals en coma flotant. Sistema de representació binari.
1.3 Error en la representació de les dades i la seva propagació. Fórmula de la propagació de l'error maximal. Errors d'arrodoniment.
1.4 Errors de truncament deguts al mètode.
1.5 Estabilitat i inestabilitat numèriques: algorismes inestables i problemes mal condicionats.

2. Zeros de funcions

2.1 Introducció: Equacions no lineals. El teorema de Bolzano i el mètode de la bisecció.
2.2 El mètode de Newton-Raphson o de la tangent. Interpretació geomètrica. La importància del punt inicial. Exemples.
2.3 Teoria d'iteració. Mètodes iteratius simples. Representació gràfica de les iteracions: gràfics de teranyina i gràfics d'escala. Un teorema de punt fix. Convergència dels mètodes iteratius. Ordre de convergència.
2.4 Convergència quadràtica en el mètode de Newton-Rapshon. Zeros múltiples: convergència lineal. Inestabilitat. Divergència.

3. Interpolació de funcions

3.1 Conceptes d’interpolació. Tipus d'interpolació.
3.2 Polinomis interpoladors. Existència i unicitat del polinomi interpolador.
3.3 Interpolació de Lagrange
3.4 El mètode de Newton o de les diferències dividides.
3.5 Error d’interpolació
3.6 El fenomen de Runge.

4. Aproximació de funcions

4.1 Introducció: El concepte d'aproximació i el mètode dels mínims quadrats.
4.2 Regressió lineal.
4.3 Linearització de relacions no lineals.
4.4 Aproximació polinòmica. Les equacions normals.

5. Derivació i integració numèriques

5.1 Derivació numèrica. La fórmula en diferències. Derivació interpolatòria.
5.2 Integral. Valor mitjà d'una funció en un interval. El mètode dels rectangles.
5.3 El mètode dels trapezis. Error d'integració.
5.4 El mètode de Simpson. Error d'integració.

6. Integració d’equacions diferencials ordinàries

6.1 Eqüacions diferencials. Camp de direccions. Solució analítica. Solució numèrica.
6.2 Mètode d’Euler
6.3 Mètode d'Euler modificat.
6.4 Mètode de Heun
6.5 Mètode de Taylor
6.6 Reducció del pas d'integració. Aproximació de l'error. Ordre del mètode.

Hi haurà sessions de teoria i problemes, sessions especials de problemes i sessions de pràctiques amb ordinador. A les sessions de teoria i problemes s'exposaràn els mètodes numèrics a estudiar i s'exemplificaran amb alguns problemes. A les sessions especials de problemes es farà alguns problemes més de reforç. S'utilitzarà la calculadora i es recomana que aquesta sigui programable. Les pràctiques d’ordinador consistiran en tres sessions a l’aula d’informàtica i es veurà com utilitzar l'ordinador per resoldre els problemes que s'estudien durant el curs.