Temari d'Equacions Diferencials - Curs 2003-04

1. Equacions diferencials de primer ordre

1.1.- Definició i exemples. El problema de valor inicial. Solució general. Equacions autònomes i no autònomes. Exemples: creixements exponencial i logístic.
1.2.- Mètodes de resolució. Equacions de variables separables. Equacions homogènies. Equacions lineals: el mètode de la variació de la constant.
1.3.- Aplicacions: desintegració radioactiva, circuits elèctrics, buidatge de dipòsits.
1.4.- Teoria qualitativa de les solucions d'equacions autònomes. Punts d'equilibri. Retrats de fase. Estabilitat dels punts d'equilibri.

2. Equacions diferencials de segon ordre

2.1.- EDO lineals: Definició i exemples. Equacions a coeficients constants. Polinomi característic. Solucions fonamentals. Solució general. Exemples. Reducció de sistemes de dues equacions de primer ordre a una equació de segon ordre.
2.2.- Mètodes de determinació d'una solució particular. El mètode de variació de les constants. El mètode dels coeficients indeterminats.
2.3.- Oscil·lacions: Amplitud i desfasament. Moviment oscil·latori esmorteït. Esmorteïment crític. Oscil·lacions forçades: el fenòmen de la ressonància i el de les pulsacions. Aplicacions: circuits elèctrics i vibracions mecàniques. 2.4.- Problemes amb valors a la frontera en dos punts. Valors propis i funcions propies.

3. Transformada de Laplace

3.1.- Transformada i transformada inversa. Definició de transformada de Laplace. Linealitat. Primer Teorema de translació. Transformada inversa.
3.2.- Transformades de derivades i integrals. Sistemes d'equacions diferencials. Equacions integro-diferencials.
3.3.- Funcions especials. Funció salt unitari. Segon teorema de translació. Funció impuls.
3.4.- Funció de transferència. Estabilitat de sistemes.

4. Introducció a les equacions en derivades parcials

4.1.- EDP de primer ordre. Equacions lineals: el mètode de separació de variables. Equacions no lineals: Integració al llarg de corbes característiques.
4.2.- L'equació del trànsit. Corbes característiques i trajectòries de vehicles. Xocs.
4.3.- EDP de segon ordre. Classificació i formes normals. El problema de valor inicial. Condicions de frontera de Dirichlet i de Neumann.
4.4.- L'equació d'ones en dimensió 1 o el problema de la corda vibrant. La fórmula de D'Alembert. Separació de variables.
4.5.- Equació de la calor en dimensió 1 i en un interval finit. Separació de variables.
4.6.- L'equació de Laplace en dimensió 2. Solució en dominis rectangulars.

La bibliografia a la biblioteca

Bibliografia bàsica

Boyce & DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Limusa, 1998.

Braun, Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica, 1988.

James, Advanced modern engineering mathematics. Addison-Wesley, 1993.

Kreyszig, Matemàticas avanzadas para ingeniería. Limusa 1990, México D.F. Vol. 1 i 2.

Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica, 1988.

Bibliografia complementària

Weinberg, Curso de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, Ed. Reverté, 1982.

Haberman, Mathematical models, mechanical vibrations and population dynamics, Ed. Prentice-Hall, 1977.

Kiseliov, Krasnov & Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, Ed. Mir, 1979

Spiegel, M. R. Transformadas de Laplace, col·lecció Schaum, Ed. McGraw-Hill, 1970. .