1.       INTRODUCCIÓ A LA MODELITZACIÓ I A LA SIMULACIÓ (5h)

1.1.    Sistemes, models i simulació.

1.1.1.        Concepte de sistema. Estats d’un sistema.

1.1.2.        Tipologia d’un sistema. Sistemes continus i sistemes discrets.

1.1.3.        Modelització d’un sistema real.

1.1.3.1.              Experimentació "in situ" o experimentació a partir d’un model.

1.1.3.2.              Model físic vs. model matemàtic.

1.1.3.3.              Solució analítica d’un model matemàtic o simulació.

1.1.3.4.              Avantatges i desavantatges dels models de simulació.

1.1.4.        Tipologia d’un model de simulació.

1.1.4.1.              Model de simulació dinàmic vs. model de simulació estàtic.

1.1.4.2.              Model de simulació determinista vs. model de simulació estocàstic.

1.1.4.3.              Model de simulació discreta vs. model de simulació contínua.

1.2.    Models de simulació d’esdeveniment discret.

1.2.1.        El "rellotge" d’un model de simulació. Llista d’esdeveniments programats.

1.2.2.        Exemples.

1.2.3.        Programació de models de simulació discreta.

1.2.3.1.              Llenguatges de programació d’ús general.

1.2.3.2.              Llenguatges específics de simulació.

1.2.3.3.              Entorns de simulació.

Bibliografia específica: [1][2][3][4][5][6][7][11]

2.       GENERACIÓ DE NOMBRES ALEATORIS I DE VARIABLES ALEATÒRIES. (10h)

2.1.    Base Estadística: Distribucions de probabilitat.

2.1.1.        Concepte. Funció de densitat. Funció de distribució. Esperança. Variància.

2.1.2.        La llei de Poisson.

2.1.3.        La llei uniforme.

2.1.4.        La llei normal. La funció error.

2.1.5.        La llei lognormal

2.1.6.        La llei exponencial.

2.1.6.1.              Definició.

2.1.6.2.              Falta de memòria (propietat de Markov) d’una llei exponencial.

2.1.6.3.              Caracterització de la llei exponencial per la propietat de Markov.

2.1.7.        La distribució d’Erlang.

2.1.8.        La llei triangular.

2.1.9.        La distribució de Weibull.

2.1.10.    La distribució Gamma.

2.1.11.    La distribució Beta.

2.2.    Base Estadística: Distribució conjunta de variables aleatòries.

2.2.1.        Concepte. Distribucions marginals. Covariància. Coeficient de correlació.

2.2.2.        Gràfiques d’autocorrelació

2.2.3.        Esperança d’una funció de dos o més variables aleatòries.

2.2.4.        Variables aleatòries independents. Propietats.

2.3.    Introducció: models i món real.

2.4.    Successions aleatòries i pseudoaleatòries.

2.5.    Generació de lleis uniformes.

2.5.1.        Generació d’aleatorietat.

2.5.2.        Generadors de congruència lineal.

2.5.2.1.              Elecció del mòdul.

2.5.2.2.              Elecció del multiplicador.

2.5.2.3.              Potència.

2.5.3.        Generació de lleis U([0,1]).

2.5.4.        Inconvenients de les U([0,1]) provinents de generadors de congruència multiplicativa.

2.5.5.        Exemples concrets.

2.5.6.        Alguns exemples de generadors dolents.

2.5.7.        Problemes computacionals.

2.5.8.        Mètode de la barreja.

2.5.9.        Altres mètodes.

2.6.    Tests d’aleatorietat.

2.6.1.        Principals tests per estudiar l’aleatorietat de les dades.

2.6.1.1.              Test  ².

2.6.1.2.              Test de Kolmogorov – Smirnov.

2.6.1.3.              Test espectral.

2.6.2.        Tests empírics.

2.6.2.1.              Test d’equidistribució.

2.6.2.2.              Test de serialitat.

2.6.2.3.              Run test.

2.6.2.4.              Test de correlació serial.

2.6.2.5.              Gap test.

2.6.2.6.              Poker test. Test de partició.

2.6.2.7.              Test del col·leccionista de talons.

2.6.2.8.              Test de permutació.

2.6.2.9.              Màxim dels t test.

2.6.2.10.           Test de col·lisions.

2.6.2.11.           Test de subseqüències.

2.6.2.12.           Altres tests.

2.7.    Generació de lleis no uniformes.

2.7.1.        Cas general.

2.7.1.1.              Generació a partir de la funció de distribució inversa.

2.7.1.2.              Altres formes de generació.

2.7.2.        Casos particulars.

2.7.2.1.              Distribucions teòriques.

2.7.2.2.              Distribucions empíriques.

Bibliografia específica: [1][2][4][6][6][11][12][5][8][9]

3.       MODELITZACIÓ DE LES DISTRIBUCIONS D’ENTRADA D’UN MODEL DE SIMULACIÓ (4h)

3.1.    Base estadística: Introducció als processos estocàstics.

3.1.1.        Introducció i concepte.

3.1.2.        Estats del sistema. Espai d’estats.

3.1.3.        Classificació dels processos estocàstics.

3.1.4.        Funció d’autocorrelació.

3.2.    Plantejament del problema.

3.2.1.        Determinació de les característiques de les variables aleatòries d’entrada que configuren la dinàmica d’un model de simulació no determinista.

3.2.1.1.              Utilització de les dades recollides com entrades del model de simulació (trace-driven simulation).

3.2.1.2.              Construcció d’una distribució "empírica" de probabilitat a partir de les dades recollides.

3.2.1.3.              Ajust d’una distribució teòrica de probabilitat a les dades recollides.

3.2.2.        Necessitat d’independència de les dades recollides per a configurar les v. a. d’entrada.

3.2.2.1.              Comprovació a partir de gràfics de dispersió.

3.2.2.2.              Comprovació a partir de l’anàlisi de les funcions d’autocorrelació.

3.2.2.3.              Comprovació a partir dels "runs".

3.3.    Determinació d’una distribució teòrica de probabilitat per a modelar una v. a. d’entrada del model de simulació.

3.3.1.        Determinació prèvia de la família de distribucions de probabilitat més adient per ajustar a les dades de la mostra de recollida.

3.3.1.1.              Consideracions a partir del coneixement a priori que es té del procés a modelar.

3.3.1.2.              Consideracions a partir dels estadístics de la mostra.

3.3.1.3.              Consideracions a partir de diagrames.

3.3.2.        Estimació dels paràmetres de la distribució de probabilitat escollida. El mètode de màxima versemblança.

3.3.3.        Avaluació del grau d’ajust de les dades de la mostra a la distribució de probabilitat teòrica estimada.

3.3.3.1.              Procediments heurístics. Comparació d’histogrames i de diagrames de caixa, diagrames Q-Q, diagrames P-P.

3.3.3.2.              Test de bondat d’ajust: test  ², test de Kolmogorov-Smirnov.

3.3.4.        Altres situacions.

3.3.4.1.              Distribucions de probabilitat desplaçades.

3.3.4.2.              Distribucions de probabilitat truncades.

3.3.4.3.              Processos de Poisson no estacionaris.

3.3.4.4.              Processos d’arribada en "lots". Processos de Poisson compostos.

3.3.4.5.              Modelització en absència de dades.

Bibliografia específica: [1][2][3][4][6]

4.       SISTEMES DE CUES (8h)

4.1.    Generalitats d’un sistema de cues (SC).

4.1.1.        Elements: població, cua, servidors.

4.1.2.        Aplicacions.

4.1.3.        Paràmetres d’entrada d’un SC.

4.1.4.        Mesures del rendiment d’un SC.

4.1.5.        Objectius de l’estudi d’un SC.

4.2.    Característiques d’un sistema de cues.

4.2.1.        Tipologia – finita o infinita – de la població de clients potencials.

4.2.2.        Capacitat – limitada o il·limitada – del sistema.

4.2.3.        Procés d’arribada dels clients al SC.

4.2.4.        Comportament d’un client a la cua. Disciplina de cua.

4.2.5.        Mecanisme de servei. Temps de servei.

4.2.6.        Notació Kendall-Lee.

4.3.    Mesures del rendiment d’un sistema de cues.

4.3.1.        Variables més importants en relació a un SC.

4.3.2.        Sistemes de cues d’evolució il·limitada. Fase transitòria i fase estable. Dependència de les condicions inicials.

4.3.3.        Mesures del rendiment d’un sistema de cues.

4.3.3.1.              Mitjana temporal L del nombre de clients presents en el sistema. Les mitjanes temporals L_q i L_s.

4.3.3.2.              Les mitjanes W, W_q, W_s dels temps d’estada dels clients en el sistema, a la cua i en el servidor.

4.3.3.3.              L’equació de conservació: fórmula de Little.

4.4.    Models de cues basats en processos estocàstics de "naixement i mort".

4.4.1.        Processos de "naixement i mort".

4.4.1.1.              Caracterització dels processos de "naixement i mort". Taxa de "naixement". Taxa de "mortalitat". Diagrama d’estats.

4.4.1.2.              Sistema en equilibri. Equacions de balanç.

4.4.2.        Sistemes de cues amb un únic servidor i capacitat il·limitada.

4.4.2.1.              El model M/M/1.

4.4.2.2.              Altres models "no markovians".

4.4.2.2.1.         Els models M/E_k/1 i M/D/1.

4.4.2.2.2.         Repercussió del factor d’utilització del servei i de la variabilitat del temps de servei en el rendiment d’un sistema M/G/1.

4.4.3.        Sistemes de cues amb múltiples servidors.

4.4.3.1.              El model M/M/s. Gràfics de  ₀ i de L en funció del factor d’utilització  i del nombre de servidors s del sistema de cues.

4.4.3.2.              Aproximació als models M/G/s.

4.4.3.3.              El model M/M/s/K.

4.4.3.4.              El model M/M/s/K/K de reparació de màquines.

4.4.4.        Xarxes de cues.

4.4.4.1.              Xarxes obertes i tancades.

4.4.4.2.              Xarxes obertes de cues "markovianes". Tècnica resolutiva de Jackson.

Bibliografia específica: [4][8][9][10]

5.       ANÀLISI DE RESULTATS D’UN MODEL DE SIMULACIÓ (9h)

5.1.    Base estadística: Estadística descriptiva.

5.1.1.        Concepte de mitjana, variància i percentil

5.1.2.        Gràfics: Diagrama de caixa i Histograma

5.2.    Base estadística: Estimació per intervals i contrast d’hipòtesi.

5.2.1.        El teorema del límit central

5.2.2.        Intervals de confiança.

5.2.2.1.              Concepte.

5.2.2.2.              Nivell de confiança d’una estimació. Interpretació.

5.2.3.        Contrast d’hipòtesi.

5.2.3.1.              Concepte.

5.2.3.2.              La hipòtesi nul·la H₀ i la hipòtesi alternativa H₁.

5.2.3.3.              Nivell de significació. Regió de rebuig d’H₀ o regió crítica.

5.2.3.4.              Nivell crític d’un contrast d’hipòtesi (p-valor).

5.2.3.5.              Errors de tipus I i II.

5.3.    Validació estadística d’un model de simulació

5.3.1.        Dificultat per a comparar la informació procedent d’un conjunt de dades reals amb la que s’obté a partir d’una simulació.

5.3.2.        Procediments estadístics per comparar dades reals amb dades procedents del model de simulació.

5.3.2.1.              Comparació dels estadístics calculats sobre dades "reals" i sobre dades "simulades".

5.3.2.2.              Comparació dels estadístics a partir d’una inspecció "correlacionada" utilitzant informació "històrica del sistema".

5.3.2.3.              Aplicació de contrastos de significació.

5.4.    Anàlisi de resultats procedents d’un model de simulació

5.4.1.        Autocorrelació i caràcter no estacionari de les dades procedents d’una simulació.

5.4.2.        Diferents tipologies de models de simulació.

5.4.2.1.              Models amb "principi i final".

5.4.2.2.              Models "sense final": sistemes estables, sistemes amb "estabilitat cíclica", sistemes "no estables".

5.4.3.        Anàlisi de resultats en models amb "principi i final".

5.4.3.1.              Necessitat de realitzar rèpliques independents del model de simulació.

5.4.3.2.              Estimació de mitjanes.

5.4.3.3.              Estimació d’altres estadístics.

5.4.3.4.              El problema de les condicions inicials.

5.4.4.        Anàlisi de resultats en models "sense final" estables.

5.4.4.1.              Dificultats de determinació de l’estat transitori inicial.

5.4.4.2.              Estimació de mitjanes a partir de la replicació/esborrament.

5.4.4.3.              Estimació de mitjanes a partir de lots.

5.4.4.4.              Estimació d’altres estadístics.

5.4.4.5.              Cas particular de sistemes amb estabilitat cíclica.

5.5.    Comparació de diferents polítiques de funcionament d’un sistema a partir de la informació proporcionada pels models de simulació associats.

5.5.1.        Comparació a partir d’un disseny de dades aparellades.

5.5.2.        Altres mètodes de comparació.

5.6.    Tècniques de reducció de la variància.

5.6.1.        Plantejament del problema.

5.6.2.        Tècnica basada en la utilització dels mateixos números aleatoris en la simulació.

5.6.3.        Tècnica basada en la utilització de valors aleatòris antitètics.

5.6.4.        Tècnica basada en estimacions indirectes.

Bibliografia específica: [1][ 2][3] [4][5][6][7][8][9]

6.       SIMULACIÓ DE PROBLEMES REALS (14h)

6.1.    Fases d’un model de simulació.

6.1.1.        Definició del problema. Clarificació dels objectius de l’estudi.

6.1.2.        Planificació detallada de les diferents fases d’execució del projecte.

6.1.3.        Definició i anàlisi del sistema a modelitzar.

6.1.4.        Formulació conceptual del model.

6.1.5.        Disseny experimental preliminar del model.

6.1.6.        Identificació, preparació i recollida de les dades que configuren la informació d’entrada.

6.1.7.        Traducció del model a un llenguatge de simulació.

6.1.8.        Verificació i validació del model.

6.1.9.        Disseny experimental definitiu del model.

6.1.10.    Experimentació del model.

6.1.11.    Anàlisi i interpretació de la informació proporcionada pel model.

6.1.12.    Implementació i documentació.

Bibliografia específica: [1][2][3][4][6]

7.       INTRODUCCIÓ A LA INVESTIGACIÓ OPERATIVA (2h)

7.1.    Metodologia de la Investigació Operativa (IO).

7.1.1.        Concepte de la IO.

7.1.2.        Fases de la metodologia de la IO.

7.1.3.        Problemes que aborda la IO.

7.1.4.        Tècniques matemàtiques i estadístiques que s’utilitzen a la IO.

7.2.    Models matemàtics propis de la IO.

7.2.1.        Models deterministes.

7.2.2.        Models estocàstics: models analítics i models de simulació.

7.2.3.        Exemples d’optimització determinista.

7.2.4.        Exemples d’optimització estocàstica.

Bibliografia específica: [13][14]