Universitat de Girona

Programa de l'assignatura

Curs 2003-04

3103100010 MATEMÀTIQUES PER A BIÒLEGS


Objectius  

Donar uns coneixements bàsics de matemàtiques a nivell d’un primer curs de ciències experimentals, posant especial èmfasi en les aplicacions a la Biologia.
 
Prerrequisits  

 
Contingut (Programa)  

1. Els  nombres complexos

1.1 Representació dels nombres complexos. Forma binòmica, trigonomètrica i polar.

1.2 Operacions elementals amb complexos. Suma, resta, multiplicació i divisió de nombres complexos. Arrels complexes de polinomis.

2. Teoria de matrius

2.1 Introducció: Moldels matricials en Biología. La matriu de Leslie. Models d'epidèmies. Matrius de projecció més generals. Projeccions iterades.

2.2 Matrius i operacions amb matrius. Suma i producte de matrius. Propietats. Producte per un escalar.

2.3 Determinants. Definició i propietats. Rang d'una matriu. Aplicació a la resolució de sistemes lineals compatibles determinats: Regla de Cramer.

2.4 Matriu inversa. Definició i càlcul. Aplicació a la resolució de sistemes d'equacions lineals. Projeccions cap enrere.

2.5 Vectors i valors propis d'una matriu. Definició i càlcul. Valors propis reals i complexos. Aplicació a l'estudi del comportament asimptòtic de models matricials.

 

3. Derivació 

3.1 Derivació en funcions d'una variable. Definició i interpretació geomètrica. Recta tangent. La derivada com a velocitat o taxa de variació d'una magnitud. Regla de la cadena. Aplicacions. Punts sense derivada.

3.2 Derivació en funcions de diverses variables. Introducció: funcions de diverses variables i corbes de nivell. Derivades parcials i la seva interpretació geomètrica. Vector gradiant. Equació del pla tangent en un punt. Derivades direccionals i la direcció de màxim pendent. Derivades d'ordre superior.  Regla de la cadena.

 

4. Optimització

4.1 Optimització en una variable. Punts crítcis d'una funció: màxims, mínims i punts d'inflexió. Condicions suficients de màxim i mínims.  Problemes d'aplicació.

4.2 Optimització en diverses variables. Punts crítics: màxims, mínims i punts de sella. Matriu hessiana. Classificació dels punts crítics.  Problemes d'aplicació.

 

5. Equacions diferencials ordinàries

5.1 Equacions diferencials de primer ordre. Definició. El problema de valor inicial. Famílies de solucions: solució general. Exemples: el creixement exponencial, el creixement logístic, disolucions i balanços en dipòsits.

5.2 Técniques de resolució d'EDO de primer ordre. Equacions de variables separables. Equacions diferencials homogènies. Equacions diferencials lineals: mètode de la variació de la constant.

5.3 Equacions diferencials lineals homogènies de segon ordre. Definició i exemples. Polinomi característic. Solucions fonamentals. Solució general.

5.4 Equacions diferencials lineals no homogènies de segon ordre. Definició i exemples. Mètode dels coeficients indeterminats per a la determinació d'una solució particular. Solució general. Problema de valor inicial. Oscil.lacions.

 

 
Bibliografia  


- R. E. Larson, R. P. Hostetler, B. H. Edwards,  "Cálculo y Geometría Analítica" (6a. edició). McGraw-Hill, 1999.

- H. Anton, “Introducción al álgebra lineal”. Limusa Noriega, 1991.

- C. Rorres, H. Anton,  "Aplicaciones del álgebra lineal". Editorial Limusa, 1979.

- S.I. Grossman,  "Aplicaciones del álgebra lineal". Grupo Editorial Iberoamérica, 1988.

- D. G. Zill,  “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”. Grupo Editorial Iberoamérica, 1986.

 

 
Mètodes docents  

Les classes es divideixen en classes o sessions de teoria (dues per setmana) i sessions de problemes (una per setmana). En la mesura en què sigui possible, les sessions de teoria compaginaran la presentació de la matèria amb transparències amb exposicions a la pissarra.  A començament de curs es posarà a l'abast dels estudiants un dossier d'exercicis i les fotocòpies de les transparències de les sessions de teoria.

 
Tipus d'exàmens i avaluacions  

L’avaluació es realitza mitjançant un examen final que consta d’uns quants problemes, la vàlua dels quals està indicada explícitament.  Durant el curs es realitzarà un examen-control voluntari de l'assignatura, la nota del qual s'afegirà a la nota de l'examen final. La nota del control tindrà un valor màxim d'un punt.
 
Informació addicional  

Es recomana la realització de l'assignatura de lliure elecció de "Matemàtiques Bàsiques" per part d'aquells estudiants amb una formació matemàtica de batxillerat no gaire sòlida.
 
Llengua de les classes  

Català