Universitat de Girona

Programa de l'assignatura

Curs 2003-04

3103000102 MÈTODES MATEMÀTICS APLICATS A LA QUÍMICA


Objectius  

 
Prerrequisits  

 
Contingut (Programa)  

Tema 1 - Determinants i matrius
Definicions i propietats elementals.
Operacions amb matrius.
Matrius unitàries i ortogonals.
Representació matricial d'una aplicació lineal.
Transformacions de matrius.

Tema 2 - Inversió de Matrius
Inversa d'una matriu.
Inversa d'una matriu triangular.
Matrius adjuntes i inverses.
La descomposició de Cholesky.
Algorisme general de la inversió de matrius.
Càlcul de determinants.
Resolució de sistemes d'equacions linials.
Mètode Gauss i de Gauss-Jordan.
Mètode iteratiu de Gauss-Seidel.

Tema 3 - Espais vectorials
Espais vectorials.
Combinacions linials.
Dependència i independència linial.
Generador d'un espai vectorial.
Subespais vectorials.
Base canònica.
Canvis de base.

Tema 4 - Espais amb producte intern
Espais vectorials amb mètrica hermítica definida positiva.
Matriu de la mètrica.
Normes i distàncies.
Mesures de semblança: angle entre dos vectors.
Conjunts ortonormalitzats.
Matriu de Gram.
Procés d'ortonormalització de Gram-Schmidt.

Tema 5 - Equacions seculars
Definicions per a matrius quadrades.
Valors i vectors propis de matrius simètriques i hermítiques.
Base característica i espectre.
Conjunt de vectors ortonormals.
Transformacions ortogonals.
Reducció a forma diagonal.
Angles d'Euler.
Tensors.
Rotacions n-dimensionals.
Relacions de semblança.
Sèries infinites de matrius.
Funcions de matrius.
Equacions seculars generalitzades.
Mètode de Jacobi per a la diagonalització de matrius simètriques.
Altres mètodes de diagonalització.

Tema 6 - Espais de Hilbert
Introduccio.
Transició de l'espai vectorial a l'espai de Hilbert.
Conjunt complet ortonormal de funcions.
Teorema de Weierstrass.
Formulació matemàtica de la mecànica quàntica.
Teorema espectral.
Vectors d'estat i funcions d'ona.
Principi variacional.
Teoria de pertorbacions.

Tema 7 - Resolució d'equacions
Recerca de zeros de funcions.
Resolució d'equacions polinòmiques i trascendents.
Recerca pel semi-interval.
Mètode la falsa posició.
Mètode de Newton-Raphson.

Tema 8 - Resolució numèrica d'equacions diferencials
Què són les equacions deferencials.
Mètode de Euler.
Mètode de Runge-Kutta.
Derivació de les fòrmules de Runge-Kutta.
Equacions diferencials d'ordre superior.
Mètodes predictor-corrector.
Sistemes d'equacions diferencials ordinàries.
Resolució numèrica d'equacions diferencials en derivades parcials.
Mètodes de discretització.
Mètodes estocàstics.

Tema 9 - Ajust de corbes i interpolació
Polinomis de Lagrange.
Interpolació mitjançant la fórmula de Lagrange.
Equacions per a l'ajust de corbes.
Ajust polinòmic per mínims quadrats.
Ajust per polinomis de Chebyschev.
Tècniques d'ajust per splines.

Tema 10- Diferenciació i integració
Diferències finites.
Derivades d'ordre alt.
Pèrdua de precisió.
Integració numèrica.
Mètode de Monte Carlo.
Regla trapezoïdal, de Simpson i taules de Romberg.
Quadratura gaussiana.
Utilització de programes algebraics.

Tema 11- Minimització de funcions
Punts estacionaris.
Topologia de les funcions de n variables.
Aplicació a la reactivitat i a les superfícies d'energia potencial.
Aplicació a la densitat electrònica en les molècules.
Estats de transició.
Vectors de transició.
Minimització d'una funció de vàries variables.
Mètode Simplex.
Mètodes de gradient.
Mètodes de mètrica variable.
Mètode Newton-Raphson.
Mètode Davidon-Fletcher-Powell.
Mètode Murtaugh-Sargent.
Altres mètodes de minimització.
Ajust de corbes per funcions no lineals multivariable.

Tema 12- Estadística i probabilitats
Anàlisis de regressió.
Mètodes de Monte Carlo.
Generació de números pseudo-aleatoris.
Integració de funcions per Monte Carlo.
Cadenes de Markov.
Experiments de simulació.
Creació de jocs.
Errors.

 
Bibliografia  


Carbó R. i Domingo Ll. (1987) "Algebra matricial y lineal", McGraw-Hill, Madrid

Carbó R. i Hernández J.A. (1976) "Introducción a la teoría de matrices", Alhambra, Madrid

Norris A.C. (1981) "Computational Chemistry, an introduction to Numerical Analysis", Wiley, Nova York

Jurs P.C. (1986) "Computer Applications in Chemistry", Wiley, Nova York

Johnston M.D. Jr. (1988) "Computational Chemistry: an Emphasis on Practical Calculations", Studies in Physical and Theoretical Chemistry No. 56, Elsevier, Amsterdam

Hirst D.M. (1990) "A Computational Approach to Chemistry", Blackwell Scientific Publications, Oxford

Hecht H.G. (1990) "Mathematics in Chemistry", Prentice-Hall, Inglewood Cliffs

Blachman N. (1993) "Mathematica: un enfoque pràctico", Ariel Informática, Barcelona

Wiberg K.B. (1965) "Computer Programming for Chemists", Benjamin, Nova York

Dickson T.R. (1968) "The computer and chemistry, an introduction to programming and numerical methods", Freeman, San Francisco

Isenhour T.L. i Jurs P.C: (1972) "Introduction to Computer Programming for Chemists", Allyn and Bacon, Boston

Greenwood H.H. (1972) "Computing Methods in Quantum Organic Chemistry", Wiley, Londres

Demidovich B.P. i Maron I.A. (1987) "Computational Mathematics", Mir Publishers, Moscú (traducció a l'anglès de l'edició de 1973)

Lykos P. (editor) (1977) "Minicomputers for Large Scale Computing", ACS Symposium Series No. 57, Washington

Bargon J. (1980) "Computational Methods in Chemistry", Plenum Press, Nova York

Lykos P. (editor) (1981) "Personal Computers in Chemistry", Wiley, Nova York

Clark T. (1985) "A handbook of computational chemistry", Wiley-Interscience, Nova York

Trinajstic N. (1986) "Mathematics and Computational Methods in Chemistry", Ellis Hordwood, Chichester

Minoux M. (1986) "Mathematical Programming", Wiley, Chichester

Hinchliffe A. (1988) "Computational Quantum Chemistry", John Wiley & sons, Chichester

Carley A.F. i Morgan P.H. (1989) "Computational Methods in the Chemical Sciences", Ellis Hordwood, Nova York

 
Mètodes docents  

 
Tipus d'exàmens i avaluacions  

Hi haurà un examen encara que es valorarà majoritàriament la tasca desenvolupada per l'alumne a les pràctiques. Aquestes consistiran en elaborar programes informàtics que implementin part de la teoria explicada.
 
Informació addicional  

 
Llengua de les classes  

Català