|
Objectius
|
Programa provisional
|
|
|
Donar uns coneixements bàsics d'estadística, àlgebra i càlcul a nivell de primer curs |
|
|
|
|
|
|
Contingut (Programa)
|
|
|
A) Estadística (del 16/09/2002 al 22/11/2002)
EstadísticaB) Àlgebra i Càlcul (del 25/11/2002 al 20/12/2002 i del 10/02/2003 al 23/05/2003)
(CONTINGUT: Àlgebra lineal, Càlcul infinitesimal, Integració, Equacions diferencials, Mètodes numèrics)
1. Sistemes lineals
Equacions lineals. Variables. Coeficients. Termes independents.
Sistemes. Incògnites. Solució.
Classificació de sistemes.
Forma resolta. Variables lligades. Variables lliures.
Combinació lineal d'equacions. Sistemes equivalents.
Mètode de Gauss. Forma esglaonada.
Notació matricial.
2. Espai vectorial Rn
Vectors a Rn. Coordenades.
Combinacions lineals de vectors.
Dependència i independència lineal de vectors.
Determinació de la relació de dependència lineal.
Propietats de la dependència lineal i la independència lineal amb relació a la inclusió de conjunts de vectors.
Subspai generat per un conjunt de vectors. Base i dimensió. Propietats fonamentals dels subspais.
Subspai determinat per un sistema lineal homogeni.
3. Matrius
Matriu. Coeficients. Files i columnes. Ordre d’una matriu.
Matrius fila. Matrius columna. Transposició de matrius.
Matriu quadrada. Matriu diagonal. Matriu triangular. Matriu simètrica. Matriu identitat. Matriu zero.
Suma i resta de matrius. Matriu oposada. Multiplicació per un escalar.
Producte de matrius.
Equació matricial d'un sistema lineal. Sistemes simultanis. Mètode de Gauss-Jordan.
Matriu inversa. Càlcul de la matriu inversa. Matrius inversibles.
Propietats de les operacions matricials.
No commutativitat. No regularitat. Inversa del producte.
4. Determinants
Determinants 2x2, 3x3, i nxn. Fórmules de Crammer.
Determinant d’una matriu triangular.
Multilinealitat. Antissimetria
Determinants nuls.
Mètode de Gauss
Determinant d'operacions matricials:
- Transposada d’una matriu
- Multiplicació per un escalar
- Producte de matrius.
- Inversa. Condició d'invertibilitat.
Matriu adjunta. Propietat: A·A*=|A|·I.
Càlcul de la matriu inversa per l'adjunta.
Desenvolupament per una fila o columna.
5. Problemes lineals amb paràmetres
Rang d’una matriu.
Teorema de Rouché
Característica d'una matriu
rang M = car M
Estudi de sistemes lineals depenents de paràmetres
Problemes de dependència lineal amb paràmetres
6. Valors i vectors propis
Transformacions lineals. Exemples.
Representació matricial. Matriu d'una transformació lineal.
Nucli.
Polinomi característic. Equació característica. Valors propis.
Subspai propi. Vectors propis.
Multiplicitat i dimensió d'un valor propi. Propietats.
Independència lineal dels vectors propis.
Base de Rn de vectors propis.
Matriu diagonalitzable. Descomposició d’una matriu diagonalitzable en la forma M=P·D·P-1
Condicions per a que una matriu diagonalitzi
Potència d’una matriu diagonalitzable
7. Models lineals discrets de dinàmica de poblacions
Models de moviment de població/preferència de consumidor.
Models de Leslie de creixement de població.
Iterats. Distribució de la població. Índex d'augment/disminució de la població total.
Relació entre l'iterat k-èsim i la potència Mk.
Valor i vector propi dominant.
Distribució de la població i índex d'augment/disminució de la població total en el límit.
8. Nombres complexos
La unitat imaginària.
Forma binòmica. Part real i part imaginària.
Suma. Interpretació geomètrica. Resta. Producte. Quocient.
Conjugat i mòdul.
Potències successives de i
(Propietats de les operacions)
Factorització: Rufinni, Biquadrades, ...
Forma polar. Mesures angulars: graus i radiants. Conversions.
Producte, quocient, potència i arrel (primitiva) en forma polar. Interpretació geomètrica.
Arrels n-èsimes.
9. Funcions
Funcions. Domini. Recorregut. Imatge. Antiimatges.
Funcions polinòmiques, racionals, trigonomètriques, logarísmiques i exponencials.
Propietats algebràiques. Resolució d'equacions (algebraicament).
Intervals de continuitat. Assímptotes. Intervals de creixement. Màxims i mínims. Intervals de corbatura. Punts d'inflexió.
Funció derivada. Quocient incremental. Recta tangent.
Aproximacions de Taylor.
10. Aplicacions de la derivada
Aplicació de la derivada a l'estudi d'una funció
Problemes de variacions
Problemes d'optimització
11. Integració
Integrals immediates.
Integració de funcions racionals.
Mètode d’integració per parts.
Canvi de variable.
12. Aplicacions de la integral
Integral definida. Interval d’integració. Límits d’integració. Regla de Barrow.
La integral definida com a àrea amb signe. Additivitat respecte l'interval d'integració.
Funció integral. Teorema fonamental del càlcul.
Àrees i longituts en el pla.
Volums en l'espai (Cavalieri).
Volums i superfícies de revolució
Teorema del valor mitjà. La integral com a límit d’un promig.
Aproximacions de Simpson. Aproximació de l’error.
13. Equacions diferencials
Concepte d’equació diferencial ordinària
Solució particular. Solució general.
Equacions de variables separades.
Equacions lineals de 1er ordre.
Canvi de variable
Aplicacions geomètriques i físiques de les equacions diferencials
14. Sistemes diferencials
Sistemes de dues equacions diferencials lineals homogènies amb coeficients constants.
Matriu del sistema. Equació característica. Valors propis.
Sistemes desacoblats.
Sistemes amb valors propis reals diferents.
Sistemes acoblats amb un valor propi real doble.
Sistemes amb valors propis complexos.
Aplicacions geomètriques i físiques dels sistemes diferencials
15. Mètodes numèrics iteratius
Mètode de Gauss-Seidel
Mètode de la potència
Mètode de Newton-Raphson
Mètode de Taylor
|
|
|
|
|
Bibliografia
|
|
|
A) Estadística
-Miller, I.R. i altres (1992) Probabilidad y estadística para ingenieros. Prentice-Hall, 4a. edició.
-Montgomery, D.C. i altres (1994): Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería.McGraw-Hill.
-Canavos, G.C.(1987): Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y mètodos. Mc Graw-Hill.
B) Àlgebra i Càlcul
-Larson R.E., Edwards B.H. (1995): Introducción al álgebra lineal, Ed. Limusa
-Salas-Hille (1994): Calculus, Volum 1, 3a edició, Ed. Reverté S.A.
-Simmons F. (1991): Ecuaciones Diferenciales, McGraw-Hill |
|
|
|
|
Mètodes docents
|
|
|
Teoria i problemes: 4 hores/setmana
Pràctiques: 1 hora/setmana. |
|
|
|
|
Tipus d'exàmens i avaluacions
|
|
|
Classificació Teoria/Pràctiques:
- Teoria i Problemes: 80%
- Pràctiques: 20%
Classificació Estadística/Àlgebra i Càlcul:
- Estadística: 35%
- Àlgebra i Càlcul: 65%
L'avaluació es basarà fonamentalment en els examens que es faran en finalitzar cadascun dels dos quadrimestres i es complementarà amb altres proves que es faran durant el curs. Per més detalls sobre criteris i proves complementàries d'avaluació consulteu el professor corresponent. |
|
|
|
|
|
|
|
La bibliografia a la biblioteca