Estudia

• Introduir els conceptes fonamentals per a l'estudi de les equacions diferenciales, així com presentar algunes de les seves aplicacions més importants.

1. Equacions diferencials de primer ordre

          1.1. Definició i exemples. Interpretació geomètrica. Solució general d'una equació diferencial. El problema de valor inicial. Equacions autònomes i no autònomes. Exemples: el creixement exponencial i el creixement logístic.

          1.2. Mètodes de resolució. Equacions de variables separables. Equacions homogènies. Equacions lineals: el mètode de la variació de la constant.

          1.3. Aplicacions: desintegració radioactiva, circuits elèctrics, buidatge de dipòsits.

2. Equacions diferencials lineals de segon ordre

          2.1. Introducció: Definició i exemples. Casos en què es pot reduir l'ordre de l'equació. Equacions a coeficients constants.

          2.2. EDO lineals homogènees: Polinomi característic. Solucions fonamentals. El principi de superposició: Solució general. Exemples.

          2.3. EDO lineals no homogènees: Solució general. Determinació d'una solució particular: El mètode dels coeficients indeterminats.

          2.4. Oscil·lacions: Amplitud i desfasament. Moviment oscil·latori esmorteït. Esmorteïment crític. Oscil·lacions forçades: el fenòmen de la ressonància i el de les pulsacions.

          2.5. Aplicacions: Circuits elèctrics i vibracions mecàniques.

3. Sistemes d'equacions diferencials lineals al pla

          3.1. Introducció. Transformació d'una equació lineal de segon ordre en un sistema d'equacions diferencials al pla.

          3.2. Sistemes lineals homogenis. Matriu fonamental de solucions. Vectors i valors propis: varietats invariants. Solucions dels sistemes lineals homogenis.

          3.3. Retrats de fase. Concepte d'òrbita. Retrat i classificació dels punts d'equilibri.

          3.4. Aplicacions: Circuits elèctrics, oscil·lacions mecàniques.

4. Sistemes d'equacions diferencials no lineals al pla

          4.1. Introducció: Teoria qualitativa de les solucions d'equacions autònomes. Punts d'equilibri. Estabilitat lineal dels punts d'equilibri. Retrat de fase.

          4.2. Sistemes no lineals al pla. Camp de velocitats. Punts d'equilibri. Linearització de sistemes al voltant d'un punt d'equilibri. Estabilitat lineal dels punts d'equilibri. Retrats de fase al voltant d'un punt d'equilibri. Retrats globals de casos senzills. Exemples.

          4.3. Aplicacions: Models d'epidèmies, models de presa i depredador, models de competència en Ecologia, el pèndol no lineal.

• Boyce, William E, Diprima, Richard C (cop. 1998). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera (4ª ed). México, D.F: Limusa.
• Braun, M (1990). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. México: Grupo Editorial Iberoamericana.
• Fernández, C., Vázquez, F.J., Vegas, J.M. (2003). Ecuaciones diferenciales y en diferencias: sistemas dinámicos. Madrid [etc.]: Thomson.
• Kiseliov, A, Krasnov, M, Makarenko, G (1979). Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (3ª ed). Moscu: Mir.
• Zill, Dennis G (cop. 2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (7ª ed. en español). México, D.F. [etc.]: International Thomson.

Activitats d'avaluació:

La qualificació de l'assignatura vindrà donada per la nota de l'examen final.

Prerequisits: Per cursar aquesta assignatura amb éxit és molt aconsellable tenir aprovada les assignatures Àlgebra i Geometria, i Càlcul.